Question

【題目】為解決城市的擁堵問題，某城市準備對現有的一條穿城公路進行分流，已知穿城公路自西向東到達城市中心后轉向方向，已知，現準備修建一條城市高架道路，在上設一出入口，在上設一出口，假設高架道路在部分為直線段，且要求市中心與的距離為.

（1）若，求兩站點之間的距離；

（2）公路段上距離市中心處有一古建筑群，為保護古建筑群，設立一個以為圓心，為半徑的圓形保護區.因考慮未來道路的擴建，則如何在古建筑群和市中心之間設計出入口，才能使高架道路及其延伸段不經過保護區？

Answer 1

【答案】（1）；（2）設計出入口離市中心的距離在到之間時，才能使高架道路及其延伸段不經過保護區.

【解析】

（1）過作直線于，則，設，

則，（），可得，，可求，又，結合，可得，即可求解兩出入口之間距離的最小值.

（2）設切點為，以為坐標原點，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標系，設直線的方程為，可求，或（舍去），可求，此時，又由（1）可知當時，，綜上即可求解.

（1）過作直線于，則，設，

則，（），

故，，

，

又，

由，得，

故，當且僅當，時取等號.

此時，有最小值為.

即兩出入口之間距離的最小值為.

（2）由題意可知直線是以為圓心，10為半徑的圓的切線，

根據題意，直線與圓要相離，其臨界位置為直線與圓相切，設切點為

此時直線為圓與圓的公切線.

因為，出入口在古建筑群和市中心之間，

如圖，以為坐標原點，以所在的直線為軸，

建立平面直角坐標系

由，，

因為圓的方程為，圓的方程為，

設直線的方程為，

則所以，兩式相除，得，

所以或，

所以此時或（舍去），此時，

又由（1）知當時，，

綜上，.

即設計出入口離市中心的距離在到之間時，才能使高架道路及其延伸段不經過保護區.