Question

已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點為F（1，0），點P是點F關于y軸的對稱點，過點P的直線交拋物線于A，B兩點．
（1）試問在x軸上是否存在不同于點P的一點T，使得TA，TB與x軸所在的直線所成的銳角相等，若存在，求出定點T的坐標，若不存在說明理由．
（2）若△AOB的面積為，求向量的夾角．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知：拋物線方程為：y²=4x且P（-1，0）．設直線l的方程為x=my-1，將拋物線C的方程y²=4x與直線l的方程聯(lián)立，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達定理求得k_AT+k_BT，設點T（t，0）存在，由TA，TB與x軸所成的銳角相等可得k_TA+k_TB=0，利用韋達定理，即可求得a=1．
（2）根據(jù)三角形的面積公式得S_△ABC=|OF||y₁-y₂|=|y₁-y₂|=，從而有|y₁-y₂|=5，再設直線OA，OB的傾斜角分別為α，β，∠AOB=θ，利用斜率公式得出k_OA和k_OB，設θ=|α-β|，再利用夾角公式，即可求出答案．
解答：解：（1）由題意知：拋物線方程為：y²=4x且P（-1，0）-------（1分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設直線l的方程為x=my-1，代入y²=4x得
y²-4my+4=0，△=16m²-16＞0，得m²＞1，
--------（2分）
假設存在T（a，0）滿足題意，則k_AT+k_BT==
==0．∴8m-4m（1+a）=0，
∴a=1，∴存在T（1，0）----------------（6分）
（2）S_△ABC=|OF||y₁-y₂|=|y₁-y₂|=
∴|y₁-y₂|=5----------------（7分）
設直線OA，OB的傾斜角分別為α，β，∠AOB=θ
k_OA====tanα，k_OB==tanβ--------（9分）
設θ=|α-β|，
∴tanθ=|tan（α-β）|=||=||==1------（11分）
∴----------------------（12分）
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，著重考查曲線方程的聯(lián)立，韋達定理的使用，斜率公式的應用，突出考查化歸思想與方程思想，屬于難題．