Question

【題目】在四棱錐中，平面平面.底面為梯形，，，且，，.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）若是棱的中點，求證：對于棱上任意一點，與都不平行.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）由面面垂直的性質可得平面，再利用線面垂直的性質即可得證；

（2）建立空間直角坐標系后，表示出各點坐標，求出平面的一個法向量是，平面的一個法向量為，利用即可得解；

（3）利用反證法，假設棱上存在點，，由題意，，設可得，此方程無解，故假設錯誤，即可得證.

（1）證明：因為平面平面， 平面平面，

平面， ，

所以平面，

又因為平面，

所以.

（2）因為，，所以.

由（1）得平面，所以，

故，，兩兩垂直.

如圖，以為原點，，，所在直線分別為軸，

建立空間直角坐標系，

則，，，.

因為平面，所以平面的一個法向量是.

而，，

設平面的一個法向量為，

則由 得 取，有，

所以.

由題知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.

（3）證明：假設棱上存在點，，設.

依題意，可知，，，

所以，，設，

根據假設，有 ，而此方程組無解，故假設錯誤，問題得證.