Question

下列四種說法中，其中正確的是________（將你認為正確的序號都填上）
①奇函數的圖象必經過原點；
②若冪函數y=xⁿ（n＜0）是奇函數，則y=xⁿ在定義域內為減函數；
③函數f（x）=|x²-2ax+b|（x∈R），若a²-b≤0，則f（x）在區間[a，+∞）上是增函數；
④用min{a，b，c}表示a，b，c三個實數中的最小值，設f（x）=min{2^x，x+2，10-x}，則函數f（x）的最大值為6．

Answer 1

③④
分析：說明①②不正確，舉例即可，如函數y=，③對函數f（x）=|x²-2ax+b|配方，確定二次函數y=x²-2ax+b的最小值的符號，從而確定函數f（x）的單調性；④用min{a，b，c}表示a，b，c三個實數中的最小值，在同一坐標系中畫出它們的圖象，則可知函數f（x）的最大值．
解答：①②不正確，如函數y=，是奇函數，但是圖象不過原點，也是冪函數，在（-∞，0）和（0，+∞）上是減函數；
③f（x）=|x²-2ax+b|=|（x-a）²+b-a²|
若a²-b≤0，則f（x）=（x-a）²+b-a²在在區間[a，+∞）上是增函數；故③正確；
④由圖象知 函數f（x）的最大值為6．在同一坐標系中畫出函數
y=2^x，y=2+x，y=10-x的圖象，取在下方的部分構成函數f（x）的圖象，如圖，由圖象知函數f（x）的最大值為6．
故答案為：②③．
點評：考查奇函數的圖象特點和單調性，冪函數的圖象特點和單調性，利用函數圖象研究函數的單調性和最值，體現數形結合的思想方法，屬基礎題．