Question

如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

．
（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求異面直線AB與CD所成角的大小；
（3）求二面角O-AC-D的大小．

Answer 1

分析：（1）設O是等腰直角三角形ABD斜邊BD的中點，通過正三角形，以及計算證明AO⊥CO，從而證明AO⊥平面BCD；
（2）利用三面角公式直接求異面直線AB與CD所成角的大小的余弦，然后求出角的大小；
（3）利用射影面的面積與被射影面的面積的比，求二面角O-AC-D的大小．

解答：解：（1）設O是等腰直角三角形ABD斜邊BD的中點，
所以有AO⊥BD，可求得AO=1，CO=

3

，又有AC=2
所以∠AEC=90°，即AO⊥CO
BD，CO是平面BCD內兩條相交直線，故有AO⊥平面BCD．

（2）由（1）可知BD⊥面AOC，
所以面BCD⊥面AOC，AO=1，CO=

3

，AC=2
A點在BCD面內的投影為O，
cos＜AB，CD＞=cos∠ABD•cos∠BDC=

2

2

×

1

2

=

2

4

異面直線AB與CD所成角的大小：arccos

2

4

．

（3）三角形AOC的面積為：

1

2

×AO×OC=

3

4

；三角形ADC的面積為：

1

2

×

2

×

22-( 2 2 )2

=

7

2

；
所以二面角O-AC-D的大小余弦為：

3 4

7 2

=

21

14

二面角O-AC-D的大小：arccos

21

14

點評：本小題主要考查空間線面關系、二面角的度量、直線與平面所成的角等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．