Question

已知數列{a_n}的通項為a_n，前n項的和為S_n，且有S_n=2-3a_n．
（1）求a_n；
（2）求數列{na_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（1）n=1時，由s₁=2-3a₁可求a₁，n≥2時由a_n=s_n-s_n-1可得a_n與a_n-1之間的遞推關系，進而結合等比數列的通項公式可求
（2）結合（1）可求na_n，然后結合錯位相減求和即可求解

解答：解：（1）n=1時，s₁=2-3a₁
∴a₁=

1

2

當n≥2時3a_n=2-S_n①
3a_n-1=2-S_n-1②
①-②得   3（a_n-a_n-1）=-a_n，
∴4an=3an-1⇒

an

an-1

=

3

4

∵{a_n}是公比為

3

4

，首項為

1

2

的等比數列，an=

1

2

(

3

4

)n-1
（2）∵an=

1

2

(

3

4

)n-1=

2

3

•

3

4

(

3

4

)n-1=

2

3

•(

3

4

)n
Tn=

2

3

[1•(

3

4

)+2•(

3

4

)2+…+n•(

3

4

)n]①

3

4

Tn=

2

3

[1•(

3

4

)2+2•(

3

4

)3+…+n•(

3

4

)n+1]②
①-②得   

1

4

Tn=

2

3

[1•(

3

4

)+(

3

4

)2+…+(

3

4

)n-n•(

3

4

)n+1]
∴Tn=

8

3

[

3 4 [1-( 3 4 )n]

1- 3 4

-n•(

3

4

)n+1]=8[1-(

3

4

)n]-

8

3

n•(

3

4

)n+1
=8-8(

3

4

)n-

8

3

n(

3

4

)n+1=8-(

3

4

)n[8+

8

3

n•

3

4

]=8-(

3

4

)n(8+2n)

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式求解數列的通項公式及等比數列的通項公式、錯位相減求和方法的應用，屬于數列知識的綜合應用．