Question

（2013•嘉定區一模）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，AC=BC=PA=2．
（1）求三棱錐P-ABC的體積V；
（2）求異面直線AB與PC所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）由題意，可得PA就是三棱錐P-ABC的高，而底面△ABC是直角邊為2的等腰直角三角形，由此結合錐體體積公式即可算出三棱錐P-ABC的體積V；
（2）取PA中點E，PB中點F，BC中點G，連接AG，由三角形中位線定理可得∠EFG（或其補角）就是異面直線AB與PC所成的角．然后在Rt△AEG中算出EG的長，用中位線定理得到EF=FG=

2

，最后在△EFG中用余弦定理算出∠EFG=120°，即得異面直線AB與PC所成角的大小．

解答：解：（1）∵PA⊥底面ABC，∴PA=h，是三棱錐P-ABC的高，…（3分）
因此，三棱錐P-ABC的體積為
V=

1

3

Sh=

1

3

S△ABC×h=

1

3

•

1

2

•AC•BC•PA=

4

3

．…（6分）
（2）取PA中點E，PB中點F，BC中點G，
連接EF，FG，EG，
∵EF、FG分別是△PAB、△PBC的中位線
∴EF∥AB，FG∥PC，
因此，∠EFG（或其補角）就是異面直線AB與PC所成的角．…（2分）
連接AG，則Rt△AEG中，AG=

AC2+CG2

=

5

，…（3分）
EG=

EA2+AG2

=

6

，…（4分）
又∵AB=PC=2

2

，∴EF=FG=

2

．…（5分）
由此可得，在△EFG中
cos∠EFG=

EF2+FG2-EG2

2EF•FG

=-

1

2

，…（7分）
結合∠EFG是三角形內角，可得∠EFG=120°．
綜上所述，可得異面直線AB與PC所成角的大小為60°．…（8分）

點評：本題給出一條側棱垂直于底面的三棱錐，求該棱錐的體積并求異面直線所成角，著重考查了異面直線及其所成的角及其求法、棱錐的體積公式等知識，屬于基礎題．