Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若函數(shù)和的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為，求證：

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到，求出，，進(jìn)而可得出結(jié)果；

（2）先令，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到，分別討論，，三種情況，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，最值等，即可證明結(jié)論成立.

（1）因?yàn)?/span>，

所以，

所以，又，

所以切線方程為：，即.

（2）令，依題意有兩個(gè)零點(diǎn).

又，

①當(dāng)，則，只有一個(gè)零點(diǎn)，

②當(dāng)，由得或.

若，則，故當(dāng)時(shí)，，

因此在上單調(diào)遞增.

又當(dāng)時(shí)，，所以不存在兩個(gè)零點(diǎn).

若，則，故當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

因此在單調(diào)遞減，在）單調(diào)遞增.

又當(dāng)時(shí)，，所以不存在兩個(gè)零點(diǎn).

③當(dāng)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

又，，取滿足且，

則，

故存在兩個(gè)零點(diǎn)；

不妨設(shè)，由③知，，，在上單調(diào)遞減，所以等價(jià)于，即.

由于，而，

所以.

設(shè)，則.

所以當(dāng)時(shí)，，而，故當(dāng)時(shí)，.

從而，故