Question

已知等比數列{a_n}的前n項和S_n=2ⁿ-a，n∈N^*．設公差不為零的等差數列{b_n}滿足：b₁=a₁+2，且b₂+5，b₄+5，b₈+5成等比．
（Ⅰ） 求a及b_n；
（Ⅱ） 設數列{log

2

a_n}的前n項和為T_n．求使T_n＞b_n的最小正整數n的值．

Answer 1

（Ⅰ）∵等比數列{a_n}的前n項和S_n=2ⁿ-a，n∈N^*，
∴a₁=S₁=2-a，
a₂=（2²-a）-（2-a）=2，
a₃=（2³-a）-（2²-a）=4，
∵a22=a1•a3，
∴2²=（2-a）•4，解得a=1，
∴an=2n-1．
∵公差不為零的等差數列{b_n}滿足：b₁=a₁+2，且b₂+5，b₄+5，b₈+5成等比數列，
∴

b1=3 (b4+5)2=(b2+5)(b8+5)

，
∴（8+3d）²=（8+d）（8+7d），
解得d=0（舍），或d=8，
∴b_n=8n-5，n∈N^*．
（Ⅱ）∵an=2n-1，∴log

2

a_n=log

2

(2n-1)=2（n-1），
∴數列{log

2

a_n}的前n項和
T_n=2（1-1）+2（2-1）=2（3-1）+2（4-1）+…+2（n-1）
=2[0+1+2+3+…+（n-1）]
=2×

n(n-1)

2

=n（n-1）．
∵b_n=8n-5，T_n＞b_n，
∴n（n-1）＞8n-5，
∵n∈N^*，∴n≥9，
∴使T_n＞b_n的最小正整數n的值是9．