Question

已知函數f（x）=x²-ax-lnx，a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）在[1，3]上是減函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-x²，是否存在負實數a，當x∈（0，e]（e是自然對數的底數）時，函數g（x）的最小值是2，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=1時，可求得f′（x）=

(2x+1)(x-1)

x

（x＞0），由f′（x）≤0可求其單調遞減區間，由f′（x）≥0可求其單調遞增區間；
（Ⅱ）依題意，f′（x）=2x-a-

1

x

=

2x2-ax-1

x

≤0在[1，3]上恒成立，令 h（x）=2x²-ax-1，由

h(1)≤0 h(3)≤0

可求得a的范圍；
（Ⅲ）假設存在負實數a，使g（x）=f（x）-x²=-ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值2，利用g′（x）=-

ax+1

x

，分0＜-

1

a

＜e與-

1

a

≥e討論，結合函數的單調性判斷即可求得答案．

解答：解：（Ⅰ）當a=1時，由f′（x）=2x-1-

1

x

=

2x2-x-1

x

=

(2x+1)(x-1)

x

，
∵函數f（x）=x²+x-lnx的定義域為（0，+∞），
∴當x∈（0，1]時，f′（x）≤0，當x∈[1，+∞）時，f′（x）≥0
∴函數f（x）=x²+x-lnx的單調遞減區間為（0，1]，
單調遞增區間為[1，+∞）…（4分）
（Ⅱ）若函數f（x）在[1，3]上是減函數，
則f′（x）=2x-a-

1

x

=

2x2-ax-1

x

≤0在[1，3]上恒成立，
因為x＞0，令 h（x）=2x²-ax-1，
有

h(1)≤0 h(3)≤0

得

a≥1 a≥ 17 3

，得a≥

17

3

…（8分）
（III）假設存在負實數a，使g（x）=f（x）-x²，即g（x）=-ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值2，g′（x）=-a-

1

x

=-

ax+1

x

…（9分）
（1）當0＜-

1

a

＜e，即a＜-

1

e

時，g（x）在（0，-

1

a

）上單調遞減，在（

1

a

，e]上單調遞增
∴g（x）_min=g（-

1

a

）=1+ln（-a）=2，a=-e，滿足條件．…（11分）
（2）當-

1

a

≥e，即a≥-

1

e

時，g′（x）＜0，g（x）在（0，e]上單調遞減，
此時g（x）_min=g（e）=-ae-1=2，
∴a=-

3

e

（舍去），即f（x）無最小值．…（13分）
綜上，存在負實數a=-e，使得當x∈（0，e]時，f（x）有最小值2．…（14分）

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，突出考查導數在最大值、最小值問題中的綜合應用，考查等價轉化與分類討論思想，考查分析運算能力，屬于難題．