Question

若集A={（x，y）|x²+mx-y+2=0，x∈R}，B={（x，y）|x-y+1=0，0≤x≤2}當(dāng)A∩B≠∅時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：由A∩B≠∅，將問題轉(zhuǎn)化為方程組

y=x2+mx+2 y=x+1

在[0，2]上有解，即x²+（m-1）x+1=0在[0，2]上有解，構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²+（m-1）x+1，則函數(shù)在[0，2]上有零點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及零點(diǎn)存在定理，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：?jiǎn)栴}等價(jià)于方程組

y=x2+mx+2 y=x+1

在[0，2]上有解，
即x²+（m-1）x+1=0在[0，2]上有解，
令f（x）=x²+（m-1）x+1，
則由f（0）=1知拋物線y=f（x）過點(diǎn)（0，1），
∴拋物線y=f（x）在[0，2]上與x軸有交點(diǎn)等價(jià)于f（2）=2²+2（m-1）+1≤0  ①
或

△=(m-1)2-4≥0 0＜ 1-m 2 ＜2 22+2(m-1)+1＞0

  ②
由①得m≤-

3

2

，由②得-

3

2

＜m≤-1，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，-1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題，方程的根與函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系，其中將集合有公共元素轉(zhuǎn)化為方程組有解，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)有零點(diǎn)，進(jìn)而借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行解答是本題的關(guān)鍵．