Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中：
（1）求異面直線BC₁與AA₁所成的角的大小；
（2）求三棱錐B₁-A₁C₁B的體積；
（3）求證：B₁D⊥平面A₁C₁B．

Answer 1

分析：（1）異面直線BC₁與AA₁所成的角的大小即∠B₁BC₁（或其補角），再由正方體的性質可得△B₁BC₁為等腰直角三角形，可得∠B₁BC₁ 的大小．
（2）三棱錐B₁-A₁C₁B的體積 即VB-A1B1C1=

1

3

•S△A1B1C1•BB₁，運算求得結果．
（3）由正方體的性質可得，由三垂線定理可得B₁D⊥A₁C₁，同理可證，B₁D⊥A₁B，再根據直線和平面垂直的判定定理可得B₁D⊥平面A₁C₁B．

解答：解：（1）由于A₁A和B₁B平行且相等，故異面直線BC₁與AA₁所成的角的大小即為BB₁與BC₁城的角，
故∠B₁BC₁（或其補角）為所求．
再由正方體的性質可得△B₁BC₁為等腰直角三角形，故∠B₁BC₁=45°，
即異面直線BC₁與AA₁所成的角的大小為45°．
（2）三棱錐B₁-A₁C₁B的體積即 VB-A1B1C1=

1

3

•S△A1B1C1•BB₁=

1

3

×（

1

2

×1×1）×1=

1

6

．
（3）證明：由正方體的性質可得，B₁D在上底面A₁B₁C₁D₁內的射影為B₁D₁，且A₁C₁⊥B₁D₁．
由三垂線定理可得B₁D⊥A₁C₁．
同理可證，B₁D⊥A₁B．
而A₁C₁和 A₁B是平面A₁C₁B內的兩條相交直線，根據直線和平面垂直的判定定理，可得B₁D⊥平面A₁C₁B．

點評：本題主要考查求異面直線所成的角，用等體積法求棱錐的體積，直線和平面垂直的判定定理的應用，屬于中檔題．