Question

19．已知球的表面積為8π，球內接正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為何值時，正三棱柱的側面積最大？最大側面積是多少？

Answer 1

分析 設底面邊長為x，則正三棱柱的高為2$\sqrt{2-\frac{1}{3}{x}^{2}}$（0$＜x＜\sqrt{6}$），求出正三棱柱的側面積，利用配方法，即可得出結論．

解答 解：設球的半徑為r，則4πr²=8r，∴r=$\sqrt{2}$（2分）
由題意可知，球心在正三棱柱上、下底面中心連線的中點處．（3分）
設底面邊長為x，則正三棱柱的高為2$\sqrt{2-\frac{1}{3}{x}^{2}}$（0$＜x＜\sqrt{6}$）（6分）
所以正三棱柱的側面積S=3x$•2\sqrt{2-\frac{1}{3}{x}^{2}}$=6$\sqrt{-\frac{1}{3}（{x}^{2}-3）^{2}+3}$（10分）
所以當x²=3，即x=$\sqrt{3}$時，正三棱柱的側面積最大為6$\sqrt{3}$（12分）

點評 本題考查正三棱柱的側面積，考查學生的計算能力，正確求出正三棱柱的側面積是關鍵．