Question

設函數f（x）=x²+bx+c（x∈R）且f′（x）+f（x）＞0恒成立，則對?a∈（0，+∞），下面不等式恒成立的是（　　）

A．f（-a）＜e^af（0）

B．f（-a）＞e^af（0）

C．f（a）＜e^af（0）

D．f（a）＞e^af（0）

Answer 1

分析：構造函數F（x）=e^x×f（x），根據題設條件，可得此函數是一個增函數，從而得F（-a）＜F（0），于是可得答案．

解答：解：令F（x）=e^x×f（x），
∵f'（x）+f（x）＞0
∴F′（x）=（e^x）′×f（x）+e^x×f′（x）
=e^x×f（x）+e^x×f′（x）
=e^x（f'（x）+f（x））＞0，
∴F（x）=e^x×f（x）為增函數，又a＞0，
∴F（a）＞F（0），即e^af（a）＞e⁰f（0）=f（0），
又-a＜0，
∴F（-a）＜F（0），即e^-af（-a）＜e⁰f（0）=f（0），
即f（-a）＜e^af（0）
故選A．

點評：本題考查函數恒成立問題，構造函數F（x）=e^x×f（x）并研究其單調性是關鍵，也是難點，著重考查觀察與分析問題的能力，屬于好題，難題．