Question

（2012•江西模擬）已知數列{a_n}，{b_n}中，對任何整數n都有：a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+an-1b2+anb1=2n+1-n-2
（1）若數列{a_n}是首項和公差都有1的等差數列，求證：數列{b_n}是等比數列；
（2）若{b_n}=2ⁿ，試判斷數列{a_n}是否是等差數列？若是，請求出通項公式，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據等差數列的性質求得數列{a_n}的通項公式，代入a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2中，利用錯位相減法求得b_n=2^n-1，進而推斷數列{b_n}是等比數列．
（2）由2ⁿa₁+2^n-1a₂+…+2a_n=2ⁿ⁺¹-n-2可得2n-1a1+2n-2a2+…+2an-1=2n-n-1，兩式聯立可求

解答：證明：（1）依題意數列{a_n}的通項公式是a_n=n，
故等式即為b_n+2b_n-1+3b_n-2+…+（n-1）b₂+nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2
∴b_n-1+2b_n-2+3b_n-3+…+（n-2）b₂+（n-1）b₁=2ⁿ-n-1（n≥2）
兩式相減可得b_n+b_n-1+…+b₂+b₁=2ⁿ-1
∴b_n=2^n-1，即數列{b_n}是首項為1，公比為2的等比數列．
（2）解：∵2ⁿa₁+2^n-1a₂+…+2a_n=2ⁿ⁺¹-n-2
∴2n-1a1+2n-2a2+…+2an-1=2n-n-1
兩式聯立可得，2（2ⁿ-n-1）+2a_n=2ⁿ⁺¹-n-2
an=

1

2

n

點評：本題主要考查了等差數列的性質，考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．