Question

已知函數(shù)y=log_a（x-1）（a＞0，a≠1）恒過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F，若A，B是拋物線上的兩點(diǎn)，且

AF•

BF

=0，直線AB的斜率不存在，則弦AB的長為

 

．

Answer 1

分析：函數(shù)y=log_a（x-1）（a＞0，a≠1）恒過點(diǎn)（2，0），可得拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F，從而可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用

AF•

BF

=0，直線AB的斜率不存在，知△ABF為等腰直角三角形，設(shè)出A的坐標(biāo)代入拋物線方程，從而可求弦AB的長．

解答：解：函數(shù)y=log_a（x-1）（a＞0，a≠1）恒過點(diǎn)（2，0），所以拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（2，0），
所以拋物線的方程為y²=8x．
由

AF•

BF

=0，知AF⊥BF，而直線AB的斜率不存在，所以△ABF為等腰直角三角形．
設(shè)A（2+m，m），則代入拋物線方程可得m²=8（m+2），解得m=4

2

+4或m=4

2

-4，
所以弦AB的長為8

2

±8．
故答案為：8

2

±8．

點(diǎn)評：本題考查對數(shù)函數(shù)恒過定點(diǎn)，考查向量知識，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，確定拋物線方程是關(guān)鍵．