Question

已知函數f(x)=2sin2(

π

4

-x)-

3

cos2x，
（1）求f（x）的最小正周期和單調減區間；
（2）若f（x）＜m+2在[0，

π

6

]上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對函數f（x）進行變形，使f（x）=Asin（ωx+φ）+B（ω＞0）的形式，可求其最小正周期，再根據復合函數單調性的判斷方法可求其減區間；
（2）要使f（x）＜m+2在[0，

π

6

]上恒成立，只要x∈[0，

π

6

]時f（x）_max＜m+2即可．

解答：解：（1）f(x)=2sin2(

π

4

-x)-

3

cos2x
=1-cos（

π

2

-2x）-

3

cos2x
=1-sin2x-

3

cos2x
=1-2sin（2x+

π

3

），
故最小正周期T=

2π

2

=π，
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ（k∈Z），
所以函數f（x）的最小正周期為π，單調減區間為[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]（k∈Z）．
（2）x∈[0，

π

6

]，則2x+

π

3

∈[

π

3

，

2π

3

]，則sin（2x+

π

3

）∈[

3

2

，1]，
則f（x）∈[-1，1-

3

]，即f（x）在[0，

π

6

]上的值域為[-1，1-

3

]．
因為f（x）＜m+2在[0，

π

6

]上恒成立，所以m+2＞1-

3

，
解得m＞-1-

3

．
所以實數m的取值范圍為（-1-

3

，+∞）．

點評：本題考查函數恒成立問題及三角函數的周期性、單調性，函數恒成立問題往往需要轉化為函數最值問題進行處理．