Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（1）=2，且對任意x，y∈R都有f（x-y）=

f(x)

f(y)

，記

n

i=1

ai=a₁•a₂•…•a_n，則

10

i=1

f(6-i)等于（　　）

A．12

B．16

C．24

D．32

Answer 1

分析：根據(jù)題意，用特殊值法，在f（x-y）=

f(x)

f(y)

中，令x=y=1可得，f（0）=1，令y=x-1可得f（x）=2f（x-1），令x=0可得f（y）•f（-y）=1；分析可得

10

i=1

f(6-i)=f（5）•f（4）•f（3）•f（2）•f（1）•f（0）•f（-1）•f（-2）•f（-3）•f（-4），進(jìn)而化簡可得

10

i=1

f(6-i)=f（5），由f（x）=2f（x-1）用遞推法可得答案．

解答：解：在f（x-y）=

f(x)

f(y)

中，
令x=y=1可得，f（0）=

f(1)

f(1)

=1，
令y=x-1可得，f[x-（x-1）]=f（1）=

f(x)

f(x-1)

，即f（x）=2f（x-1），
令x=0可得，f（0-y）=f（-y）=

f(0)

f(y)

=

1

f(y)

，即f（y）•f（-y）=1；
則

10

i=1

f(6-i)=f（5）•f（4）•f（3）•f（2）•f（1）•f（0）•f（-1）•f（-2）•f（-3）•f（-4）
又由f（y）•f（-y）=1，則

10

i=1

f(6-i)=f（5）
又由f（2）=2f（1）=4，f（3）=2f（2）=8，f（4）=2f（3）=16，f（5）=2f（4）=32，
則

10

i=1

f(6-i)=f（5）=2f（4）=32，
故選D．

點評：本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，是新定義的題型，首先要理解

10

i=1

f(6-i)的含義，其次要用特殊值法分析求出f（1）、f（2）等的值．