Question

已知關(guān)于x函數(shù)f（x）=（1-a）x²+（a+2）x-4，a為實數(shù)，求：
（1）函數(shù)f（x）在[-2，1]只存在一個零點，求a的取值范圍；
（2）函數(shù)f（x）的所有零點都大于0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)在[-2，1]只存在一個零點，可得f（-2）×f（1）≤0 （等號不同時取），即：-1（-6a-4）≤0，由此求得a的取值范圍．
（2）①當(dāng)1-a=0時，即a=1，則3x-4=0，解得x=

4

3

＞0符合題意． ②當(dāng)1-a≠0時，即a≠1，則由

△=(a+2)2+16(1+a)≥0 x1+x2= a+2 a-1 ＞0 x1x2= 4 a-1 ＞0

，再求得a的取值范圍．
最后將求得的兩個a的取值范圍取并集，即得所求．

解答：解：（1）∵函數(shù)在[-2，1]只存在一個零點，∴f（-2）×f（1）≤0．…（2分）
（等號不同時取），即：-1（-6a-4）≤0，解得：a≤-

2

3

，即a的取值范圍為（-∞，-

2

3

]． …（5分）
（2）①當(dāng)1-a=0時，即a=1，則3x-4=0，解得：x=

4

3

＞0（符合題意）．…（8分）
②當(dāng)1-a≠0時，即a≠1，則滿足：

△=(a+2)2+16(1+a)≥0 x1+x2= a+2 a-1 ＞0 x1x2= 4 a-1 ＞0

，…（11分）
推出

a≥10或a≤2 a＞1或a＜-2 a＞1

，可得1＜a≤2，或a≥10．…（13分）
綜合以上情況，所求的a的取值范圍為[1，2]∪[10，+∞）． …（14分）

點評：本題主要考查函數(shù)的零點的定義，函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．