Question

（2009•湖北模擬）已知數列{a_n}滿足：a₁=5，且an+1=-2an+5×3n．
（1）求證：數列{a_n-3ⁿ}是等比數列，并寫出a_n的表達式；
（2）設3ⁿb_n=n（3ⁿ-a_n），且|b₁|+|b₂|+…+|b_n|＜m對于n∈N^*恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據遞推公式利用“an-3n”表示“an+1-3n+1”，根據等比數列的定義證明數列{a_n-3ⁿ}是等比數列，求出此數列的通項公式再求出a_n；
（2）由（1）和條件求出b_n，代入|b₁|+|b₂|+…+|b_n|化簡后，利用錯位相減法求出式子的和，再求出和式的范圍，再由恒成立求出m的范圍．

解答：解：（1）∵an+1=-2an+5×3n，
∴an+1-3n+1=-2(an-3n)，
∴{a_n-3ⁿ}是以首項為a₁-3=2，公比為-2的等比數列，
∴a_n-3ⁿ=2•（-2）^n-1，
則a_n=3ⁿ+2•（-2）^n-1=3ⁿ-（-2）ⁿ，
（2）由3ⁿb_n=n•（3ⁿ-a_n）=n•[3ⁿ-3ⁿ+（-2）ⁿ]=n•（-2）ⁿ，
得b_n=n•（-

2

3

）ⁿ，
令Sn=|b1|+|b2|+…+|bn|=

2

3

+2×(

2

3

)2+3×(

2

3

)3+…+n×(

2

3

)n①
∴

2

3

Sn=(

2

3

)2+2 • (

2

3

)3+…+(n-1)×(

2

3

)n+n×(

2

3

)n+1②
①-②得，

1

3

Sn=

2

3

+ (

2

3

)2+…+(

2

3

)n-n(

2

3

)n+1=2[1-(

2

3

)n]-n • (

2

3

)n+1
∴Sn=6[1-(

2

3

)n]-3n(

2

3

)n+1＜6
∵|b₁|+|b₂|+…+|b_n|＜m對于n∈N^*恒成立，
∴m≥6．

點評：本題考查了遞推公式的靈活應用，等比數列的證明方法，以及錯位相減法求數列的和，數列與不等式結合問題．