Question

8．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=$\sqrt{3}$，BC=1，P為△ABC內一點，∠BPC=90°．
（Ⅰ）若PB=$\frac{1}{2}$，求PA；
（Ⅱ）若∠APB=150°，設∠PBA=α，求tan2α值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可求∠PBA=30°，在△PBA中，由余弦定理即可解得PA的值．
（Ⅱ）設∠PBA=α，由已知得，PB=sinα，在△PBA中，由正弦定理，同角三角函數基本關系式可得tanα的值，利用二倍角的正切函數公式即可計算得解．

解答 本小題滿分（12分）
解：（Ⅰ）由已知得，∠PBC=60°，
∴∠PBA=30°，
在△PBA中，由余弦定理得PA²=$3+\frac{1}{4}-2×\sqrt{3}×\frac{1}{2}cos{30^o}$=$\frac{7}{4}$，
∴PA=$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$…（5分）
（Ⅱ）設∠PBA=α，由已知得，PB=sinα，
在△PBA中，由正弦定理得，$\frac{{\sqrt{3}}}{{sin{{150}^o}}}=\frac{sinα}{{sin（{{30}^o}-α）}}$，
化簡得，$\sqrt{3}cosα=4sinα$，
∴tanα=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∴$tan2α=\frac{2tanα}{{1-{{tan}^2}α}}=\frac{{8\sqrt{3}}}{13}$．…（12分）

點評 本題主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函數基本關系式，二倍角的正切函數公式在解三角形中的應用，考查了轉化思想和數形結合思想，屬于中檔題．