Question

在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，底面邊長為a,D為BC為中點，M在BB₁上，且BM=B₁M，又CM⊥AC₁;

（1）求證：CM⊥C₁D;

（2）求AA₁的長.

Answer 1

（1）證明：在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，D為BC中點，則AD⊥面BCC₁B₁，從而AD⊥MC.

又∵CM⊥AC₁，則MC和平面ADC₁內兩相交直線AD，AC₁均垂直,

∴MC⊥面ADC₁，于是MC⊥DC₁.

（2）解：在矩形BB₁C₁C中，由CM⊥DC₁，

知△DCC₁∽△BMC，設BB₁=h,則BM=h，∴h:a=∶h，

求得h=a，從而所求AA₁=a.