Question

設f（x）是定義在R上的偶函數，其圖象關于直線x=1對稱，對任意x₁，x₂∈[0，

1

2

]，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），且f（1）=a＞0．
（1）求f（

1

2

）及f（

1

4

）；
（2）證明f（x）是周期函數．

Answer 1

分析：（1）已知任意x₁，x₂∈[0，

1

2

]，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），令x₁=x₂=

1

2

，求出f（

1

2

），根據

1

2

=

1

4

+

1

4

進行求解；
（2）已知f（x）為偶函數，再根據f（x）關于x=1對稱，進行證明；

解答：解；（1）∵f（1）=f（

1

2

+

1

2

）=f（

1

2

）•f（

1

2

）=f²（

1

2

）=a，
∴f（

1

2

）=±

a

又∵f（

1

2

）=f（

1

4

+

1

4

）=f²（

1

4

）＞0，
∴f（

1

2

）=a

1

2

同理可得f（

1

4

）=a

1

4

（2）∵f（x）是偶函數，
∴f（-x）=f（x）
又∵f（x）關于x=1對稱，
∴f（x）=f（2-x）
∴f（x）=f（-x）=f[2-（-x）]=f（2+x）  （x∈R）
這表明f（x）是R上的周期函數，且2是它的一個周期．

點評：此題主要考查函數的周期性，此類抽象函數的題，主要利用特殊值法，此題比較簡單．