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如圖,P是△ABC所在平面外的一點, PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面ABC,H是垂足.

求證:H是△ABC的垂心.

證明:∵PA⊥PB,PA⊥PC,∴PA⊥平面PBC,BC平面PBC.∴BC⊥PA.∵PH⊥平面ABC,BC平面ABC,∴BC⊥PH.

∴BC⊥平面PAH,AH平面PAH.

∴AH⊥BC.

同理,BH⊥AC,CH⊥AB.

因此H是△ABC的垂心.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在△ABC中，點M是BC的中點，點N在邊AC上，且AN=2NC，AM與BN相交于點P，則點P分有向線段
AM
所成的比為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在△PAB中A1∈PA，B1∈PB，如圖（1）所示，則△PA1B1和△PAB具有面積關系
S△PA1B1
S△PAB
=
PA 1•PB 1
PA •PB
在平面幾何中該關系式已經證明是成立的．請你在三棱錐P-ABC中（圖2）寫出一個類似的正確結論；并給予證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，∠C是直角，平面ABC外有一點P，PC=24，點P到直線AC、BC的距離PD和PE都等于6
10
，求：
（1）點P到平面ABC的距離PF；
（2）PC與平面ABC所成的角．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，P是△ABC所在平面外一點，PA=PB=PC=
2
a．
（1）求證：面PAB⊥面ABC；
（2）求PC和△ABC所在平面所成角．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網請考生在第（1），（2），（3）題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．
（1）選修4-1：幾何證明選講
如圖，在△ABC中，D是AC的中點，E是BD的中點，AE的延長線交BC于F．
（Ⅰ）求
BF
FC
的值；
（Ⅱ）若△BEF的面積為S1，四邊形CDEF的面積為S2，求S1：S2的值．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
以直角坐標系的原點O為極點，a=
π
6
軸的正半軸為極軸，且兩個坐標系取相等的單位長度．已知直線l經過點P（1，1），傾斜角a=
π
6
．
（ I）寫出直線l的參數方程；
（ II）設l與圓ρ=2相交于兩點A、B，求點P到A、B兩點的距離之積．
（3）選修4-5：不等式選講
已知函數f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（I）求不等式f（x）≤6的解集；
（II）若關于x的不等式f（x）＞a恒成立，求實數a的取值范圍．

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同步練習冊答案
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