Question

已知f（x）=x²-ax+4．
（1）當a=2時，解不等式f（x）＞x+14；
（2）若f（x）≤0對x∈[1，4]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先把不等式整理成標準形式，再進行因式分解，從而可得不等式的解集．
（2）由x²-ax+4≤0對一切x∈[1，4]恒成立可得，a≥x+

4

x

在x∈[1，4]上恒成立從而轉化為a≥（x+

4

x

）_max結合函數性質得到y=x+

4

x

在x∈[1，4]的最大值為5，即可求a的取值范圍．．

解答：解：（1）當a=2時，不等式f（x）＞x+14等價于x²-2x+4＞x+14
即是x²-3x-10＞0，解得x＜-2或x＞5
故不等式的解集是{x|x＜-2或x＞5}；
（2）解：∵x²-ax+4≤0對一切x∈[1，4]恒成立，
∴a≥x+

4

x

在x∈[1，4]上恒成立
構造函數y=x+

4

x

，x∈[1，4]
∴a≥y_max
∵函數y=x+

4

x

在[1，2]上單調遞減，在[2，4]上單調遞增
故y在x=1或4時，取得最大值5，
故a的取值范圍是：a≥5

點評：本題主要考查一元二次不等式的解法以及函數恒成立問題，此類問題，①問關鍵是把次項系數化為正數，再進行因式分解，同時注意三個二次之間的關系．②問常構造函數，轉化為求解函數的最值問題：a＞f（x）（或a＜f（x））恒成立?a＞f（x）_max（或a＜f（x）_min），體現了轉化思想在解題中的應用．