Question

已知數列{a_n}為等比數列，a₄=16，q=2，數列{b_n}的前n項和S_n=

1

2

n²+

3

2

n（n∈N*）．
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式a_n、b_n；
（2）設c_n=a_n•b_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）根據等比數列的通項公式可得a₁，由等比數列通項公式可得a_n，根據bn=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，可得b_n；
（2）由（1）表示出c_n，利用錯位相減法可求得T_n．

解答：解：（1）∵數列{a_n}為等比數列，∴a₄=a₁q³，∴16=a₁•2³，∴a₁=1，
∴a_n=2ⁿ（n∈N*），
∵數列{b_n}的前n項和S_n=

1

2

n²+

3

2

n，
∴令n=1，b₁=2，
當n≥2時，S_n-1=

1

2

（n-1）²+

3

2

（n-1），
∴b_n=S_n-S_n-1=

1

2

n²+

3

2

n-

1

2

（n-1）²-

3

2

（n-1）=n+1，
∴{b_n}的通項公式為：b_n=n+1（n∈N*）；
（2）∵c_n=a_n•b_n=（n+1）•2ⁿ，
∴T_n=2×2+3×2²+4×2³+…+n×2^n-1+（n+1）×2ⁿ
2T_n=2×2²+3×2³+4×2⁴+…+n×2ⁿ+（n+1）×2ⁿ⁺¹
∴相減得，-T_n=2×2+（3-2）×2²+（4-3）×2³+…+[（n-1）-n]×2ⁿ-（n+1）×2ⁿ⁺¹
∴-T_n=4+2²+2³+…+2²-（n+1）×2ⁿ⁺¹
=4+

4(1-2n-1)

1-2

-（n+1）×2ⁿ⁺¹
=-n×2ⁿ⁺¹
∴T_n=n×2ⁿ⁺¹；

點評：本題考查等差數列等比數列的通項公式、錯位相減法對數列求和，考查學生的運算能力，熟記基本題目的基本方法是解決問題的基礎．