Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為a，D₁為A₁B₁的中點．
（1）求證：AB⊥CD₁；
（2）若二面角A-BC-D₁的大小為60°，求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

分析：（1）過D₁作D₁D⊥AB，連接DC，證明AB⊥平面DD₁C，然后證明AB⊥D₁C．
（2）過D作DM⊥BC，連接D₁M，說明二面角A-BC-D₁的大小為60°通過計算直接求出V=

3 3

16

a3．

解答：（1）證明：過D₁作D₁D⊥AB，連接DC，
因為幾何體是正三棱柱，D₁為A₁B₁的中點，∴D為AB的中點，
CD⊥AB，AB∩CD=D，
∴AB⊥平面DD₁C
D₁C?平面平面DD₁C
∴AB⊥D₁C．
（2）解：過D作DM⊥BC，連接D₁M，
因為D₁D⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥D₁D，
所以二面角A-BC-D₁的大小為60°，∠D₁MD=60°
正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為a，
∴DM=

3

4

a，D1D=

3

4

a，V=

3 3

16

a3．
正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積：

3 3

16

a3．

點評：本題是中檔題，考查直線與直線垂直的證明方法，二面角在求解幾何體體積中的應用，考查空間想象能力，計算能力．