Question

請從下面兩題中選做一題，如果兩題都做，以第一題的得分為最后得分．
（1）在極坐標系中，過圓ρ=4cosθ的圓心，且垂直于極軸的直線方程為    ．
（2）如圖，AB為⊙O的直徑，弦AC、BD交于點P，若AB=3，CD=1，則sin∠APD=    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）先將原極坐標方程ρ=4cosθ的兩邊同乘以ρ后化成直角坐標方程，再利用直角坐標方程進行求解即可．
（2）由圓周角定理，我們可得∠A=∠D，∠B=∠C，結合相似三角形判斷定理可得△ABP∽△DCP，進而由相似三角形的性質我們可得DP：AP=DC：AB=，即cos∠APD=，再由同角三角函數關系，即可得到答案．
解答：解：（1）由題意可知圓的標準方程為（x-3）²+y²=4，圓心是（2，0），
所求直線標準方程為x=2，
則極坐標方程為ρcosθ=2．
故答案為：ρcosθ=2．
（2）解：由圓周角定理，可得：
在△ABP和△DCP中
∠A=∠D，∠B=∠C
∴△ABP∽△DCP
所以DP：AP=DC：AB=
連接DA
因為AB是圓O直徑
所以∠ADP=90°
∴cos∠APD=
sin∠APD==
故答案為：．
點評：（1）本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得．
（2）本題考查的知識點是圓周角定理，相似三角形的判定與性質，同角三角函數關系，其中利用三角形相似的性質，得到cos∠APD=，是解答本題的關鍵．