Question

先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點數分別記為a，b．
（Ⅰ）設函數f（x）=|x-a|，函數g（x）=x-b，令F（x）=f（x）-g（x），求函數F（x）有且只有一個零點的概率；
（Ⅱ）將a，b，5的值分別作為三條線段的長，求這三條線段能圍成等腰三角形的概率．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意知本題是一個古典概型
試驗發生包含的事件先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點數分別記為a，b，事件總數為6×6=36．
∵函數F（x）有且只有一個零點
∴函數f（x）=|x-a|與函數g（x）=x-b有且只有一個交點
∴b＜a，且a，b∈1，2，3，4，5，6
∴滿足條件的情況有a=2，b=1；a=3，b=1，2；a=4，b=1，2，3；
a=5，b=1，2，3，4；a=6，b=1，2，3，4，5．
共1+2+3+4+5=15種情況．
∴函數F（x）有且只有一個零點的概率是
（Ⅱ）先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點數分別記為a，b，事件總數為6×6=36．
∵三角形的一邊長為5∴當a=1時，b=5，（1，5，5），1種；
當a=2時，b=5，（2，5，5），1種；當a=3時，b=3，5，（3，3，5），（3，5，5），2種；
當a=4時，b=4，5，（4，4，5），（4，5，5），2種；
當a=5，b=1，2，3，4，5，6，（5，1，5），（5，2，5），（5，3，5），
（5，4，5），（5，5，5），（5，6，5），6種；
當a=6，b=5，6，（6，5，5），（6，6，5），2種
故滿足條件的不同情況共有14種
即三條線段能圍成不同的等腰三角形的概率為．
分析：（Ⅰ）由題意知本題是一個古典概型試驗發生包含的事件先后2次拋擲一枚骰子，將得到的點數分別記為a，b，事件總數為6×6
，滿足條件的事件是函數F（x）有且只有一個零點，列舉出所有的結果，根據古典概型概率公式得到結果．
（II）在第一問的基礎上列舉出所有滿足條件的事件數，根據古典概型概率公式得到結果．
點評：本題考查古典概型，實際上本題是一個典型的古典概型問題，本題可以列舉出試驗發生包含的事件和滿足條件的事件，應用列舉法來解題是這一部分的精髓．