Question

已知函數(shù).

(Ⅰ) 若函數(shù)在處的切線方程為，求實(shí)數(shù)的值.

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) ；

（Ⅱ） 。

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 由得

               （2分）

 

函數(shù)在處的切線方程為，

所以 ，解得                   （5分）

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，

所以，，而   （6分）

由（Ⅰ）知

令得或                         （8分）

（1）當(dāng)即時(shí)，恒成立，所以在上遞增，成立                        （9分）

（2）當(dāng)即時(shí)，由解得或

①當(dāng)即時(shí)，在上遞增，在上遞減，

所以，解得；

②當(dāng)即時(shí)，在上遞增，在上遞減，

在上遞增，

故，

解得；                              （12分）

（3）當(dāng)即時(shí)，由解得或

①當(dāng)即時(shí)，在上遞減，在上遞增，舍去；

②當(dāng)即時(shí)，在上遞增，在上 遞減， 在上遞增，

所以，解得 （14分）

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為 （15分）

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，不等式恒成立問題。

點(diǎn)評：中檔題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基本問題，主要依據(jù)“在給定區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)值非負(fù)，函數(shù)為增函數(shù)；導(dǎo)函數(shù)值非正，函數(shù)為減函數(shù)”。確定函數(shù)的極值，遵循“求導(dǎo)數(shù)，求駐點(diǎn)，研究單調(diào)性，求極值”。不等式恒成立問題，往往通過構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的最值，使問題得到解決。