Question

設函數f（x）=ax²-bx+1（a，b∈R），
（1）如果f（1）=0且對任意實數x均有f（x）≥0，求F（x）的解析式；
（2）在（1）在條件下，若g（x）=f（x）-kx在區間[-3，3]是單調函數，求實數k的取值范圍；
（3）已知a＞0且f（x）為偶函數，如果m+n＞0，求證：F（m）+F（n）＞0．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（1）=0，可得b=a+1，結合f（x）≥0恒成立，分a=0和a≠0兩種情況討論后可得a，b的值，進而求出函數f（x）的解析式，進而根據得到答案．
（2）若g（x）=f（x）-kx在區間[-3，3]是單調函數，函數區間[-3，3]在函數對稱軸的同一側，由此構造不等式可求出滿足條件的實數k的取值范圍；
（3）由f（x）為偶函數可得b=0，進而得到，根據a＞0，m+n＞0，進而根據二次函數的圖象和性質得到F（m）+F（n）的取值范圍．
解答：解（1）∵f（1）=0，
∴b=a+1（1分）
∵對任意實數x均有f（x）≥0恒成立，
即對任意實數x均有ax²-bx+1≥0恒成立（2分）
當a=0時，b=1，這時，f（x）=-x+1，它不滿足f（x）≥0恒成立（3分）
當a≠0時，則a＞0且△=（-b）²-4a=（a+1）²-4a=（a-1）²≤0
∴a=1，b=2（4分）
從而f（x）=x²-2x+1，
∴（5分）
（2）由（1）知f（x）=x²-2x+1
∴g（x）=f（x）-kx=x²-（2+k）x+1=（6分）
∵g（x）=f（x）-kx在區間[-3，3]是單調函數
∴≤3或≥3，
即k≤-8或k≥4
∴k的取值范圍是（-∞，-8]∪[4，+∞）（7分）
（3）∵f（x）是偶函數，
∴b=0（8分）
故f（x）=ax²+1，
∴    （9分）
∵a＞0，
∴當x＞0時f（x）＞0
∵m+n＞0，
∴m，n中至少有一個正數，即m，n都是正數或一個正數，一個負數
若m，n都是正數，則F（m）＞0，F（n）＞0，所以F（m）+F（n）＞0（10分）
若m，n一個正數，一個負數，不妨設m＞，n＜0，又m+n＞0
則F（m）+F（n）=am²+1-（an²+1）=a（m+n）（m-n）＞0（11分）
綜上可得，F（m）+F（n）＞0．（12分）
點評：本題考查的知識點是二次函數解析式的求法，二次函數的單調性，二次函數的圖象，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解答的關鍵．