Question

已知數列{a_n}滿足遞推關系式a_n=2a_n-1+1，（n≥2）其中a₄=15
（1）求a₁，a₂，a₃
（2）求數列{a_n}的通項公式
（3）求數列{a_n}的前n項和S．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用數列的遞推關系式，通過n=4，求出a₃，類似求出a₁，a₂，
（2）通過遞推關系式，推出數列{a_n+1}是以a1+1為首項，2為公比的等比數列，然后求數列{a_n}的通項公式．
（3）寫出數列{a_n}的前n項和的表達式．利用拆項法，通過等比數列求和求解即可．
解答：解：（1）由a_n=2a_n-1+1，（n≥2）其中a₄=15
，可知a₄=2a₃+1，解得a₃=7，
同理可得，a₂=3，a₁=1．
（2）由a_n=2a_n-1+1，（n≥2）可知a_n+1=2a_n-1+2，（n≥2），
∴數列{a_n+1}是以a1+1為首項，2為公比的等比數列，
∴a_n+1=（a₁+1）•2^n-1=2ⁿ，
所以a_n=2ⁿ-1．
（3）∵a_n=2ⁿ-1．
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=（2¹-1）+（2²-1）+…+（2ⁿ-1）
=（2¹+2²+…+2ⁿ）-n
=
=2ⁿ⁺¹-n-2．
點評：本題考查數列的遞推關系式與數列通項公式，前n項和的應用，考查計算能力．