Question

如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M為EC的中點，AF=AB=BC=FE=AD     

(I)  求異面直線BF與DE所成的角的大小；

(II)  證明平面AMD平面CDE；

（III）求二面角A-CD-E的余弦值。    

Answer 1

本小題要考查異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想像能力、運算能力和推理論證能力。滿分12分.

方法一：（Ⅰ）解：由題設(shè)知，BF//CE，所以∠CED（或其補角）為異面直線BF與DE所成的角。設(shè)P為AD的中點，連結(jié)EP，PC。因為FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD內(nèi),故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD設(shè)FA=a，則EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故∠CED=60°。所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60°    

（II）證明：因為

（III）

由（I）可得，

     

方法二：如圖所示，建立空間直角坐標系，

點為坐標原點。設(shè)依題意得      

（I）        

所以異面直線與所成的角的大小為.

（II）證明：  ，

     

（III）   

又由題設(shè)，平面的一個法向量為