Question

求證：三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直．

Answer 1

【答案】分析：如圖所示：在平面γ內，除點O外，任意取一點M，過點M作MN⊥c，MP⊥b，M、P為垂足，證明a⊥平面γ．再由b、c在平面γ內，可得a⊥b，a⊥c．同理可證，c⊥b，
c⊥a，從而得出結論．
解答：解：設三個互相垂直的平面分別為α、β、γ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c，三個平面的公共點為O，如圖所示：
在平面γ內，除點O外，任意取一點M，且點M不在這三個平面中的任何一個平面內，
過點M作MN⊥c，MP⊥b，M、P為垂足，
則有平面和平面垂直的性質可得MN⊥α，MP⊥β，∴a⊥MN，a⊥MP，∴a⊥平面γ．                                       
再由b、c在平面γ內，可得a⊥b，a⊥c．同理可證，c⊥b，c⊥a，從而證得a、b、c互相垂直．
點評：本題主要考查平面和平面垂直的性質，直線和平面垂直的判定定理、直線和平面垂直的性質定理的應用，屬于中檔題．