Question

7．定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x+1）=-f（x），當x∈（0，1）時，f（x）=x-1，則函數y=f（x）-log₄|x|的零點個數是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 根據函數的奇偶性推出函數的周期性，利用函數與方程之間的關系進行轉化，利用數形結合進行判斷即可．

解答 解：∵奇函數f（x）滿足f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
即函數f（x）是周期為2的周期函數，
若x∈（-1，0），則-x∈（0，1），
∵當x∈（0，1）時，f（x）=x-1，
∴當-x∈（0，1）時，f（-x）=-x-1=-f（x），
即當x∈（0，1）時，f（x）=x+1，
當x=0時，f（0）=0，則f（1）=-f（0）=0
由y=f（x）-log₄|x|=0得f（x）=log₄|x|，
作出函數f（x）和y=log₄|x|的圖象如圖：
兩個函數共有4個交點，
故函數y=f（x）-log₄|x|的零點個數是4個，
故選：C

點評 本題主要考查函數零點個數的判斷，根據條件判斷函數的周期性，以及利用方程和函數之間的關系進行轉化是解決本題的關鍵．