Question

如圖，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD與平面ABCD所成角是30°，點(diǎn)F中PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)．
（1）證明：PE⊥AF；
（2）當(dāng)CE=

2

時(shí)，求二面角P-DE-A的大小．

Answer 1

分析：（1）由題意可得此題是證明線面垂直的問(wèn)題，即證明直線AF垂直于平面PBE，而當(dāng)點(diǎn)E在BC上無(wú)論怎樣運(yùn)動(dòng)時(shí)直線PE都在此平面內(nèi)，因此只需證明已知直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線即可．
（2）過(guò)A作AG⊥DG于G，連PG，根據(jù)二面角的定義可得∠PAG是二面角P-DE-A的平面角，由PD與平面ABCD所成角是30°，CE=

2

，PA=AB=1，解Rt△PAG可得二面角P-DE-A的大小．

解答：證明：（1）∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
∴EB⊥PA，
又∵EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP?平面PAB，
∴EB⊥平面PAB，
又∵AF?平面PAB，
∴AF⊥BE，
又∵PA=AB=1，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，
∴AF⊥平面PBE．
∵PE?平面PBE，
∴AF⊥PE．
（2）過(guò)A作AG⊥DG于G，連PG，
∵DE⊥PA，
∴DE⊥平面PAG，則∠PAG是二面角P-DE-A的平面角，
∵PD與平面ABCD所成角是30°，
∴∠PDA=30°，
又∵PA=AB=1．ABCD為矩形
∴AD=

3

又∵CE=

2

，
∴DE=

3

S_△ADE=

1

2

DE•AG=

1

2

×

3

×1=

3

2

=

1

2

×

3

AG
∴AG=1，PG=

2

在Rt△PAG中，cos∠PAG=

AG

PG

=

1

2

=

2

2

∴二面角P-DE-A的大小為45°

點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，得到有關(guān)線面垂直、線線垂直的結(jié)論，以及利用這些垂直關(guān)系解決二面角問(wèn)題．