Question

設m是給定的正整數，有序數組（a₁，a₂，a₃，…，a_2m）中a_i=2或-2（1≤i≤2m）．
（1）求滿足“對任意的1≤k≤m，k∈N*，都有

a2k-1

a2k

=-1”的有序數組（a₁，a₂，a₃，…，a_2m）的個數A；
（2）若對任意的1≤k≤l≤m，k，l∈N*，都有|

2l

i=2k-1

ai|≤4成立，求滿足“存在1≤k≤m，k∈N*，使得

a2k-1

a2k

≠-1”的有序數組（a₁，a₂，a₃，…，a_2m）的個數B．

Answer 1

分析：（1）確定（a_2k-1，a_2k）=（2，-2）或（a_2k-1，a_2k）=（-2，2）共有2種，即可得出結論；
（2）分類討論，求出存在一個k，二個k，…，的情況，從而可求滿足“存在1≤k≤m，k∈N*，使得

a2k-1

a2k

≠-1”的有序數組（a₁，a₂，a₃，…，a_2m）的個數B．

解答：解：（1）因為對任意的1≤k≤m，k∈N^*，都有

a2k-1

a2k

=-1，
所以（a_2k-1，a_2k）=（2，-2）或（a_2k-1，a_2k）=（-2，2）共有2種，
所以有序數組（a₁，a₂，a₃，…，a_2m）的個數A=2^m；
（2）當存在一個k時，那么這一組有2

C

1 m

種，其余的由（1）知有2^m-1，
所以共有2

C

1 m

2^m-1種；
當存在二個k時，因為對任意的1≤k≤l≤m，k，l∈N^*，
都有|

2l

i=2k-1

ai|≤4成立得這兩組共有2

C

2 m

，其余的由（1）知有2^m-2，所以共有2

C

2 m

2^m-1種，
…，
依此類推得，B=2

C

1 m

2^m-1+2

C

2 m

2^m-1+…+2

C

m m

=2（3^m-2^m）．

點評：本題考查等比數列的性質，考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．