Question

設頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線過點P（2，4），過P作拋物線的動弦PA，PB，并設它們的斜率分別為k_PA，k_PB．
（1）求拋物線的方程；
（2）若k_PA+k_PB=0，求證直線AB的斜率為定值，并求出其值；
（3）若k_PA•k_PB=1，求證直線AB恒過定點，并求出其坐標．

Answer 1

（1）依題意，可設所求拋物線的方程為y²=2px（p＞0），
因拋物線過點（2，4），故4²=4p，p=4，拋物線方程為y²=8x．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則kPA=

y1-4

x1-2

=

y1-4

y 21 8 -2

=

8

y1+4

，
同理kPB=

8

y2+4

，kAB=

8

y1+y2

．
∵k_PA+k_PB=0，
∴

8

y1+4

+

8

y2+4

=0，∴

8

y1+4

=

8

-y2-4

，y₁+4=-y₂-4，y₁+y₂=-8
∴k_AB=-1．
即直線AB的斜率恒為定值，且值為-1．
（3）∵k_PAk_PB=1，
∴

8

y1+4

•

8

y2+4

=1，
∴y₁y₂+4（y₁+y₂）-48=0．
直線AB的方程為y-y1=

8

y1+y2

(x-

y 21

8

)，即（y₁+y₂）y-y₁y₂=8x．
將y₁y₂=-4（y₁+y₂）+48代入上式得
（y₁+y₂）（y+4）=8（x+6），該直線恒過定點（-6，-4），命題得證．