Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點．
（1）證明：AD⊥D₁F；
（2）求AE與D₁F所成的角；
（3）設AA₁=2，求點F到平面A₁ED₁的距離．

Answer 1

分析：（1）由正方體的性質可得AD⊥面DD₁C₁C，可得結論；
（2）取AB的中點，并連接A₁P，由三角形全等可得A₁P⊥AE，可得所求的角；
（3）取CC₁中點Q，連接FQ，作FH⊥平面A₁FQD，可得FH即為F到平面FQD₁A₁的距離，由已知數據解FH可得．

解答：解：（1）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，
∴AD⊥面DD₁C₁C，
又D₁F?面DD₁C₁C，∴AD⊥D₁F
（2）取AB的中點P，并連接A₁P，
可得△A₁AP≌△ABE，
∴∠BAE=∠AA₁P，∠AEB=∠A₁AE，
∵∠BAE+∠A₁AE=∠A₁AB=90°，
∴∠AA₁P+∠A₁AE=90°，即A₁P⊥AE，
即AE⊥D₁F，∴AE與D₁F所成的角為90°
（3）取CC₁中點Q，連接FQ，
∵FQ∥A₁D₁又作FH⊥平面A₁FQD，
又∵FH⊥D₁Q，FH⊥FQ，∴FH⊥平面FQD₁A₁，
∴FH即為F到平面FQD₁A₁的距離，解得：FH=

3 5

5

，
∴F點到平面A₁ED₁的距離為

3 5

5

點評：本題考查空間的線面位置關系，涉及異面直線所成的角，屬中檔題．