Question

已知A，B是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)長軸的兩個端點，M，N是橢圓上關于x軸對稱的兩點，直線AM，BN的斜率分別為k₁，k₂（k₁k₂≠0），若橢圓的離心率為

3

2

，則|k₁|+|k₂|的最小值為（　　）

• A．1
• B．

  2

• C．

  3

• D．2

Answer 1

分析：先假設出點M，N，A，B的坐標，然后表示出兩斜率的關系，再由|k₁|+|k₂|的最小值為1運用基本不等式的知識可得到當x₀=0時可取到最小值，進而找到a，b，c的關系，進而可求得離心率的值．

解答：解：設M（t，s），N（t，-s），t∈[0，a]，s∈[0，b]，A（-a，0），B（a，0），
k₁=

s

t+a

，k₂=-

s

t-a

|k₁|+|k₂|=|

s

t+a

|+|-

s

t-a

|≥2

| s t+a || s a-t |

=2

s2 a2-t2

當且僅當

s

t+a

=-

s

t-a

，即t=0時等號成立．
因為A，B是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)長軸的兩個端點，M，N是橢圓上關于x軸對稱的兩點，M（t，s），N（t，-s），即s=b
∴|k₁|+|k₂|的最小值為

2b

a

，
∵橢圓的離心率為

3

2

，∴

c

a

=

3

2

，
∴a=2b
∴|k₁|+|k₂|的最小值為1
故選A．

點評：本題主要考查橢圓的基本性質和基本不等式的應用．圓錐曲線是高考的重點問題，基本不等式在解決最值時有重要作用，所以這兩方面的知識都很重要，一定要強化復習．