Question

已知a＞0，求函數(shù)y=

x2+a+1

x2+a

的最小值．

Answer 1

分析：先整理函數(shù)的解析式，當(dāng)0＜a≤1時(shí)利用基本不等式求得函數(shù)的最小值；再看a＞1時(shí)令t=

x2+a

，然后對(duì)f（t）進(jìn)行求導(dǎo)，判斷出函數(shù)在[

a

，+∞）上的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最小值，最后綜合答案可得．

解答：解：y=

x2+a

+

1

x2+a

，
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，y=

x2+a

+

1

x2+a

≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)x=±

1-a

時(shí)取等號(hào)，y_min=2．
當(dāng)a＞1時(shí)，令t=

x2+a

（t≥

a

）．
y=f（t）=t+

1

t

．f'（t）=1-

1

t2

＞0．
∴f（t）在[

a

，+∞）上為增函數(shù)．
∴y≥f（

a

）=

a+1

a

，等號(hào)當(dāng)t=

a

即x=0時(shí)成立，y_min=

a+1

a

．
綜上，0＜a≤1時(shí)，y_min=2；
a＞1時(shí)，y_min=

a+1

a

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．考查了學(xué)生函數(shù)思想和分類討論思想的應(yīng)用和基本不等的靈活應(yīng)用．