Question

若a，b，c，m，n，p均為非零實數，則關于x的方程m（ax²+bx+c）²+n（ax²+bx+c）+p=0的解組成的集合不可能是（ ）
A．{1，2，4，8}
B．{1，2，3，4}
C．{1，2}
D．∅

Answer 1

【答案】分析：根據函數f（x）的對稱性，因為m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解應滿足y₁=ax²+bx+c，y₂=ax²+bx+c，進而可得到方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的根，應關于對稱軸x=對稱，分別進行判斷
解答：解：解答：設f（x）=ax²+bx+c的對稱軸為直線x=-
設方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解為y₁，y₂
則必有y₁=ax²+bx+c，y₂=ax²+bx+c
那么從圖象上看，y=y₁，y=y₂是一條平行于x軸的直線
它們與f（x）有交點
由于對稱性，則方程y₁=ax²+bx+c的兩個解x₁，x₂要關于直線x=稱
也就是說2（x₁+x₂）=
同理方程y₂=ax²+bx+c的兩個解x₃，x₄也要關于直線x=對稱
那就得到2（x₃+x₄）=
在B中，可以找到對稱軸直線x=2.5，
也就是1，4為一個方程的解，2，3為一個方程的解
所以得到的解的集合可以是{1，2，3，4}
C中，對稱軸為x=即可，D中，方程的解不存在也有可能，
而A中{12，4，8}，中間兩個數4，2的對稱軸為3，而最大值和最小值1，8對稱軸為
即函數的圖象不是軸對稱圖形，
故選A
點評：本題主要考查二次函數的對稱性，二次函數在高中已經作為一個工具來解決有關問題，在解決不等式、求最值時用途很大