Question

已知點P是橢圓上一動點，點F₁，F₂是橢圓的左右兩焦點．
（1）求該橢圓的長軸長、右準線方程；
（2）一拋物線以橢圓的中心為頂點、橢圓的右準線為準線，求拋物線標準方程；
（3）當∠F₁PF₂=30°時，求△PF₁F₂的面積；
（4）點Q是圓F₂：（x-5）²+y²=25上一動點，求PF₁+PQ的最小值．

Answer 1

解：（1）∵橢圓
∴a=13，b=12，c=5，
∴長軸長26，右準線方x=…（4分）
（2）∵p=，p==67.6
∴拋物線標準方程y²=-135.2x…（8分）
（3）PF₁=r₁，PF₂=r₂，由題意2c=10，100=r₁²+r₂²-2r₁r₂cos30°，r₁+r₂=26..（11分）
∴r₂r₁=576（2-）
∴△PF₁F₂的面積=r₂r₁sin30°=144（2-）…（13分）
（4）由于PF₁+PQ=26-PF₂+PQ=26-（PF₂-PQ）
故求PF₁+PQ的最小值即求PF₂-PQ值，
由圖可知，當三點P，F₂，Q共線時，PF₂-PQ最大，最大值為圓F₂：（x-5）²+y²=25的半徑5
故PF₁+PQ的最小值為26-5=21…（16分）
分析：（1）由橢圓的標準方程得出a=13，b=12，c=5，從而得到長軸長26，右準線方x=；
（2）欲求拋物線標準方程，只須求出其焦參數p即可，由p=，p==135.2，最后寫出拋物線標準方程；
（3）先設出PF₁=r₁，PF₂=r₂，由題意2c=10，利用余弦定理得出r₂r₁=576（2-），根據面積公式即可求得△PF₁F₂的面積；
（4）由于PF₁+PQ=26-PF₂+PQ=26-（PF₂-PQ），故求PF₁+PQ的最小值即求PF₂-PQ值，由圖可知，當三點P，F₂，Q共線時，PF₂-PQ最大從而得到PF₁+PQ的最小值．
點評：本小題主要考查橢圓的簡單性質、直線和圓的方程的應用等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．