Question

10．已知數列{a_n}滿足a_n+1=a_n-2a_n+1a_n，a_n≠0且a₁=1
（1）求證：數列$\{\frac{1}{a_n}\}$是等差數列，并求出{a_n}的通項公式；
（2）令${b_n}={（-1）^{n-1}}n{a_n}{a_{n+1}}$，求數列{b_n}的前2n項的和T_2n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=a_n-2a_n+1a_n，a_n≠0且a₁=1，取倒數可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，即可得出．
（2）${b_n}={（-1）^{n-1}}n{a_n}{a_{n+1}}$=（-1）^n-1$\frac{n}{（2n-1）（2n+1）}$=（-1）^n-1$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂項求和”即可得出．

解答 （1）證明：∵a_n+1=a_n-2a_n+1a_n，a_n≠0且a₁=1，∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
∴數列$\{\frac{1}{a_n}\}$是等差數列，首項為1，等差數列為2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，解得a_n=$\frac{1}{2n-1}$．
（2）解：${b_n}={（-1）^{n-1}}n{a_n}{a_{n+1}}$=（-1）^n-1$\frac{n}{（2n-1）（2n+1）}$=（-1）^n-1$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$，
∴T_2n=$\frac{1}{4}$$[（\frac{1}{1}+\frac{1}{3}）$-$（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{4n-3}+\frac{1}{4n-1}）$-$（\frac{1}{4n-1}+\frac{1}{4n+1}）]$
=$\frac{1}{4}$$（1-\frac{1}{4n+1}）$=$\frac{n}{4n+1}$．

點評 本題考查了等差數列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．