Question

對于函數f(x)，使x-f(x)=0的x叫做f(x)的不動點，容易求得f(x)=x²的不動點為0和1；f(x)是否有不動點與函數g(x)=x-f(x)的性質密切相關.

(1)求f₁(x)=的不動點；

(Ⅱ)設a＞0，且a≠1，求使f₂(x)=log_ax有不動點的a的取值范圍.

Answer 1

解:(Ⅰ)x-f₁(x)=0,即x-=0,

解得x₁=0,x₂=1,x₃=-1.

所以，函數f₁(x)的不動點為0,1,-1. 

(Ⅱ)令g(x)=x-f₂(x)-x-log_ax(x＞0),

則g′(x)=1-. 

(1)若0＜a＜1,則log_ae＜0, g′(x)＞0,

則g(x)在(0,+∞)內單調遞增.

又g(a)=a-1＜0,g(1)=1＞0,所以g(x)=0

即x-f₂(x)=0在(0，1)內有一根. 

(2)若a＞1，則當x∈(0,log_ae)時，(x)＜0,g(x)單調遞減，

當x∈(log_ae,+∞)時，(x)＞0,g(x)單調遞增；

當x=log_ae時，g(x)有最小值log_ae-log_a(log_ae).

由g(1)=1＞0知，當且僅當log_ae-log_a(log_ae)≤0時，g(x)=0即x-f₂(x)=0有實根.

由a＞1，知

log_ae-log_a(log_ae)≤0log_ae≤log_a(log_ae)e≤log_aea^e≤e1＜a≤.

綜合所述，a的取值范圍是(0,1)∪.