Question

函數(shù) f（x）=cosx，（x∈R）．
（1）若函數(shù)g（x）=f²（x）+sinxcosx，求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若h（x）=f（2x）+asinx，在x∈R上的最大值為1，求a的值．

Answer 1

分析：（1）化簡g（x）的解析式為

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

，由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，解得x的范圍即為所求．
（2）化簡h（x）的解析式為-2(sinx-

a

4

)2+1+

a2

8

，分

a

4

＞1、1≤

a

4

≤1、

a

4

＜-1三種情況分別根據(jù)其最大值
求出a的值．

解答：解：（1）g（x）=cos²x+sinxcosx=

1+cos2x

2

+

1

2

sin2x=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，解得

π

8

≤x≤π+

5π

8

，k∈Z，
故函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是 [kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z．
（2）h（x）=cos2x+asinx=1-2sin²x+asin?x=-2(sinx-

a

4

)2+1+

a2

8

，
由于sinx∈[-1，1]，h（x）的最大值為1，則
①若

a

4

＞1，即a＞4時(shí)，則sinx=1時(shí)有最大值，∴-1+a=1，∴a=2，（舍去）．
②若-1≤

a

4

≤1，即-4≤a≤4時(shí)，則sinx=

a

4

有最大值，1+

a2

8

=1，∴a=0，合乎題意．
③若

a

4

＜-1，即a＜-4時(shí)，怎sinx=-1有最大值．-1-a=1⇒a=-2，（舍去）．
綜上，a=0．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的單調(diào)性及最值的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．