Question

已知函數(shù)f(x)=2

3

sin(x-3π)sin(x-

π

2

)+2sin2(x+

5π

2

)-1，x∈R
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值；
（2）若f(x0)=

6

5

，x0∈[

π

4

，

π

2

]，求cos2x₀的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的誘導公式、二倍角公式與輔助角公式，化簡得f(x)=2sin(2x+

π

6

)，從而可得f（x）的最小正周期T=π，再利用正弦函數(shù)的圖象與性質，即可算出f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值；
（2）由f(x0)=

6

5

，利用f（x）的表達式解出sin(2x0+

π

6

)=

3

5

，根據(jù)同角三角函數(shù)的關系算出cos(2x0+

π

6

)=-

4

5

，再進行配角：2x0=(2x0+

π

6

)-

π

6

，利用兩角和的余弦公式加以計算，可得cos2x₀的值．

解答：解：（1）∵sin（x-3π）=-sinx，sin（x-

π

2

）=-cosx，sin（x+

5π

2

）=cosx，
∴f(x)=

3

(2sinxcosx)+(2cos2x-1)
=

3

sin2x+cos2x=2(sin2x•

3

2

+cos2x•

1

2

)=2sin(2x+

π

6

)
由此可得f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π．
∵當x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，
因此，當2x+

π

6

=

π

2

即x=

π

6

時，f（x）的最大值為2；
當2x+

π

6

=

7π

6

即x=

π

2

時，f（x）的最小值為-1．
（2）由（1）可知f(x0)=2sin(2x0+

π

6

)，
∵f(x0)=

6

5

，
∴sin(2x0+

π

6

)=

3

5

由x0∈[

π

4

，

π

2

]，可得2x0+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]，
∴cos(2x0+

π

6

)=-

1-sin2(2x0+ π 6 )

=-

4

5

可得cos2x0=cos[(2x0+

π

6

)-

π

6

]=cos(2x0+

π

6

)cos

π

6

+sin(2x0+

π

6

)sin

π

6

=

3-4 3

10

．

點評：本題將函數(shù)f（x）的表達式化簡，求函數(shù)的周期與最值，并依此求特殊的三角函數(shù)值．著重考查了三角函數(shù)的誘導公式、三角恒等變換公式、三角函數(shù)的圖象與性質等知識，屬于中檔題．