Question

某企業擬在2012年度進行一系列促銷活動，已知某產品年銷量x萬件與年促銷費用t萬元之間滿足3-x與t+1成反比例，當年促銷費用t=0萬元時，年銷量是1萬件，已知2012年產品的設備折舊、維修等固定費用為3萬元，每生產1萬件產品需再投入32萬元的生產費用．若將每件產品售價定為：其生產成本的150%與“平均每件促銷費的一半”之和，則當年生產的商品正好能銷完．
（1）將2012年的利潤y（萬元）表示為促銷費t（萬元）的函數
（2）該企業2012年的促銷費投入多少萬元時，企業年利潤最大？（注：利潤=銷售收入-生產成本-促銷費，生產成本=固定費用+生產費用）

Answer 1

（1）由題意：3-x=

k

t+1

，將t=0，x=1代入得k=2
∴x=3-

2

t+1

當年生產x（萬件）時，年生產成本=32x+3=32(3-

2

t+1

)+3，當銷售x（萬件）時，年銷售收入=150%[32(3-

2

t+1

)+3]+

1

2

t
由題意，生產x萬件產品正好銷完，∴年利潤=年銷售收入-年生產成本-促銷費
即y=

-t2+98t+35

2(t+1)

(t≥0)
（2）y=50-(

t+1

2

+

32

t+1

)≤50-2

16

=42，此時t=7，y_max=42．