Question

已知數列{a_n}：a₁，a₂，a₃，…，a_n，構造一個新數列：a₁，a₂-a₁，a₃-a₂，…，a_n-a_n-1，此數列是首項為1、公比為的等比數列.

　　（1）求數列{a_n}的通項；

　　（2）求數列{a_n}的前n項和.

Answer 1

（1）a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）==［1-（）ⁿ］.

　　（2）S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n

　　=（1-）+［1-（）²］+［1-（）³］+…+［1-（）ⁿ］

　　={（1-）+［1-（）²］+［1-（）³］+…+［1-（）ⁿ］}

　　=n-［1++（）²+…+（）^n-1］

　　=n-=n-［1-（）ⁿ］=（2n-1）+（）^n-1.

解析:

    通過觀察，不難發現，新數列的前n項和恰為a_n，這樣即可將問題轉化為首項為1、公比為的等比數列的前n項和問題.數列{a_n}的通項求出后，再求前n項和就容易了.