Question

（2011•西安模擬）設實數a，b，c滿足a＞b＞c，a+b+c=0，若x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的兩實數根，則|x₁²-x₂²|的取值范圍為（　　）

• A．（0，1）
• B．[0，1）
• C．(

  3

  4

  ，3)
• D．[0，3）

Answer 1

分析：由題意可得 方程ax²+bx+c=0必然有一個實數根為1，且 a＞0，c＜0，b的符號不確定，求出|

b

a

|的范圍，化簡要求的式子為 |

b

a

|•|1-x₂ |，可得當|

b

a

|=0時，要求的式子有最小值0，再由|1-x₂ |=2|1-（-

b

2a

）|＜3可得要求的式子小于3，從而得到|x₁²-x₂²|的取值范圍．

解答：解：由于 a＞b＞c，a+b+c=0，x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的兩實數根，
可得方程ax²+bx+c=0必然有一個實數根為1，且 a＞0，c＜0，b的符號不確定．
故有 a+2b＞0，1＞

b

a

＞-

1

2

，0≤|

b

a

|＜1．
不妨設 x₁ =1，由根與系數的關系可得 1+x₂=-

b

a

，x₂=

c

a

＜0，且對稱軸為 x=-

b

2a

∈（-

1

2

，

1

4

）．
由|x₁²-x₂²|=|（x₁+x₂）•（x₁-x₂）|=|

b

a

|•|x₁-x₂|=|

b

a

|•|1-x₂ |可得，
當|

b

a

|=0時，|x₁²-x₂²|=|

b

a

|•|1-x₂ |的最小值等于0．
再由|1-x₂ |=2|1-（-

b

2a

）|=2|（1+

b

2a

）|≤2+|

b

a

|＜2+1=3，
故  |

b

a

|•|1-x₂ |＜1×3=3．
故|x₁²-x₂²|的取值范圍為[0，3），
故選D．

點評：本題主要考查一元二次方程根的分布與系數的關系，體現了轉化的數學思想，判斷1方程ax²+bx+c=0的根，是解題的關鍵，是屬于中檔題．